Mathematica 代码

1 矩阵操作

更详细的用法参考官网，这里不再列出；本章笔记的主要目的是

1.1 矩阵的输入

1.1.1 通过模板

面板 - 数学助手（或书写助手） - 排版 - 矩阵模板.

1.1.2 一般矩阵

1
matA = {{1, -2, 2}, {-2, -2, 4}, {2, 4, -2}};   (* 创建矩阵 *)
2
matB = Table[i + j, {i, 3}, {j, 3}]             (* 利用 Table 创建 *)
3
matA = Array[a, {3, 2}]                         (* 符号矩阵 *)

1.1.3 特殊矩阵

xxxxxxxxxx
5
1
ConstantArray[a, {m, n}]    (* 常量矩阵, 每个元素都是数值 a *)
2
IdentityMatrix[n]           (* 单位矩阵 *)
3
DiagonalMatrix[list, k]     (* 第 k 对角线为 list 的矩阵 *)
4
HilbertMatrix[n]            (* 希尔伯特矩阵 *)
5
SparseArray                 (* 稀疏矩阵 *)

1.2 基础操作

1.2.1 常用函数

​x
1
A // MatrixForm     (* 矩阵形式 *)
2

3
Length[A]           (* 矩阵的行数 *)
4
Length[A[[1]]]      (* 矩阵的列数 *)
5

6
MatrixQ[A]                  (* 判断是否为矩阵 *)
7
DiagonalMatrixQ[A]          (* 对角矩阵 *)
8
UpperTriangularMatrixQ[A]   (* 上三角矩阵 *)
9
SymmetricMatrixQ[A]         (* 对称矩阵 *)
10
PositiveDefiniteMatrixQ[A]  (* 正定矩阵 *)
11

12
AbsoluteTiming[]    (* 内部表达式的运行时间 *)

1.2.2 提取元素

1.2.3 提取范围

1.3 基础运算

以 A = {{1, 2}, {3, 4}} 为例，

1.3.1 逐元素运算

1. 加法

xxxxxxxxxx
4
1
Plus[A, B]
2
A + B       (* 矩阵加法, 对应元素相加 *)
3
A + {1, 2}  (* 前两行元素分别加 1、2 *)
4
A + 1       (* 所有元素 + 1 *)

2. 减法

xxxxxxxxxx
4
1
Subtract[A, B]
2
A - B
3
A - {1, 2}
4
A - 1

3. 乘法

xxxxxxxxxx
4
1
Times[A, B]
2
A * B           (* 逐元素相乘 *)
3
A * {1, 2}      (* 第一行乘 1, 第二行乘 2 *)
4
A * 3           (* 所有元素乘 3 *)

4. 除法

xxxxxxxxxx
4
1
Divide[A, B]    (* 逐元素相减 *)
2
A / B
3
A / {1, 2}
4
A / 3

5. 次方

xxxxxxxxxx
4
1
Power[A, 2]
2
A ^ B
3
A ^ {1, 2}
4
A ^ -1

1.3.2 矩阵的运算

1. 点乘（矩阵乘法）

xxxxxxxxxx
5
1
Dot[A, B]
2
A . B           (* 矩阵乘法 *)
3
A . {1, 2}      (* 矩阵乘向量 *)
4
A . 3           (* 错误的写法, 这相当于 A * 0.3 *)
5
{1, 2} . {1, 2} (* 点乘 *)

2. 直积（Kronecker 积）：KroneckerProduct[A, B]

3. 求逆：Inverse[A]

4. 转置：Transpose[A]

5. 共轭：Conjugate[A]

6. 共轭转置：ConjugateTranspose[A]

7. 次幂：MatrixPower[A, n]

8. 叉积：Cross[v1, v2]

1.3.3 其他的函数

1. 行列式：Det[A]

2. 迹：Tr[A]

3. 秩：MatrixRank[A]

4. 求和

xxxxxxxxxx
3
1
Total[A]        (* 按列求和, 所有行相加, 即 Total[A, 1] *)
2
Total[A, 2]     (* 第一维求和后第二维求和, 即所有元素之和 *)
3
Total[A, {2}]   (* 按行求和, 第二维求和, 即所有列相加 *)

5. 范数

xxxxxxxxxx
13
1
Norm[a]     (* 实数的绝对值, 即 Abs[a] *)
2
Norm[z]     (* 复数的模长, 即 Abs[z] *)
3

4
(* 向量的模长 *)
5
Norm[v]             (* 欧氏范数, 即 Sqrt[Conjugate[v].v], 即 Norm[v, 2] *)
6
Norm[v, p]          (* p-范数, 即 Total[Abs[v]^p]^(1/p) *)
7
Norm[v, Inifity]    (* 无穷范数, 即 Max[Abs[v]] *)
8

9
(* 矩阵的范数 *)
10
Norm[m]                 (* 谱范数, 即 Norm[m, 2] *)
11
Norm[m, 1]              (* 列范数, 即 Max[Total[m]] *)
12
Norm[m, Infinity]       (* 行范数, 即 Max[Total[A, {2}]] *)
13
Norm[m, "Frobenius"]    (* F 范数, 即 Sqrt[Tr[Transpose[A] . A]], 或 Sqrt[Total[A^2, 2]] *)

6. 特征值

xxxxxxxxxx
4
1
{lambda, xi} = Eigensystem[A]
2
(* 验证 *)
3
lambda[[1]]*xi[[1]] // Simplify
4
A . xi[[1]] // Simplify

2 线性方程组

2.1 线性求解

2.1.1 LinearSolve

• 使用方法

  • LinearSolve[m, b]

  • LinearSolve[m]

  • LinearSolve[m][b]

• 应用范围

  • 数值矩阵

  • 符号矩阵

  • 稀疏矩阵

• 未确定的系统

  • 矩阵可以不是方阵.

  • LinearSolve 返回一个可能的特解.

  • Solve 返回通解.

2.1.2 精确和符号矩阵

符号矩阵求解

xxxxxxxxxx
2
1
LinearSolve[{{r, s}, {t, u}}, {y, z}]       (* 符号求解 *)
2
{{r, s}, {t, u}} . % == {y, z} // Simplify  (* 验证 *)

数值矩阵求解

xxxxxxxxxx
3
1
m = {{1, 2}, {3, 4}};
2
b = {{5, 6}, {7, 8}};   (* b 可以有多行 *)
3
LinearSolve[m, b] // MatrixForm

2.1.3 近似解数值矩阵

2.2 矩阵分解

2.2.1 LU 分解

求解算法

xxxxxxxxxx
11
1
(* 以数值矩阵为例 *)
2
matA = {{2, 1, 1}, {1, 3, 2}, {1, 2, 2}};
3
arrb = {4, 6, 5};
4
(* 选主元的 LU 分解 *)
5
{lu, p, c} = LUDecomposition[matA];
6
l = LowerTriangularize[lu, -1] + IdentityMatrix[Length[matA]];
7
u = UpperTriangularize[lu];
8
(* 求解线性方程组 *)
9
x = Inverse[u] . Inverse[l] . arrb[[p]] // MatrixForm
10
(* 重构原矩阵 *)
11
l.u == m[[p]]

任意精度

xxxxxxxxxx
4
1
MatrixForm /@ LUDecomposition[
2
    RandomReal[5, {3, 3},
3
    WorkingPrecision -> 10
4
]

2.2.2 Cholesky 分解

求解算法

xxxxxxxxxx
11
1
(* 矩阵输入与验证 *)
2
matA = {{2, 1}, {1, 2}}
3
HermitianMatrixQ[matA]          (* 实数可直接使用 SymmetricMatrixQ[matA] *)
4
PositiveDefiniteMatrixQ[matA]   (* 正定矩阵 *)
5

6
(* Cholesky 分解 *)
7
u = CholeskyDecomposition[matA]             (* 分解 *)
8
x = Inverse[u] . Inverse[Transpose[u]] . b  (* 求解 *)
9
(* 验证 *)
10
ConjugateTranspose[u] . u == matA           (* 重构 *)
11
matA . x == b

任意精度

xxxxxxxxxx
5
1
(* 任意精度 *)
2
RandomVariate[WishartMatrixDistribution[
3
    7, {{1, 1/2, 0}, {1/2, 2, -1/2}, {0, -1/2, 1}}], 
4
    WorkingPrecision -> 15
5
]

参考资料

• Mathematica 官网

  • 矩阵和线性代数—Wolfram 语言参考资料.

• Mathematica 语法

  • mathematica 矩阵基础操作+绘图（施工中...） - 知乎 (zhihu.com).

  • Mathematica 中特殊符号的使用规则 - 知乎 (zhihu.com).

• 线代

  • 代数基础 | Kronecker积 (zhihu.com).

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